02. 시계열 분해 기법

이전 글에서 시계열을 stochastic process로 보고 stationarity와 ARIMA를 다뤘다. 이번에는 시계열을 눈에 보이는 구성 요소로 쪼개어 이해하는 time series decomposition(시계열 분해)을 살펴본다. 분해를 통해 데이터를 더 깊이 해석하고, 각 요소에 맞는 모델링을 따로 적용할 수 있다.

시계열의 세 가지 구성 요소

하나의 시계열 데이터는 보통 trend(추세), seasonality(계절성), residual(잔차)의 세 요소로 분해할 수 있다. 관측된 시계열(observed)을 이 세 가지로 나누어 보면, 겉으로는 복잡해 보이던 데이터가 훨씬 명확하게 해석된다.

Trend

Trend는 시계열 데이터의 증가·감소 같은 전체적인 경향성을 표현한다.

• 데이터가 장기적으로 어느 방향으로 움직이는지를 나타낸다.
• 랜덤한 잡음이 없는 deterministic(결정적)한 요소다. 즉, 단기적인 흔들림이 아니라 큰 흐름을 담는다.

Seasonality

Seasonality는 시계열 데이터의 주기성을 표현한다.

• 일정한 간격으로 비슷한 패턴이 반복되는 성질이다.
• 주기성은 여러 요인에서 비롯될 수 있다. 예를 들어 시간(하루 중 시각), 요일, 월, 연도, 계절 등이 주기의 단위가 된다.

예: 아이스크림 판매량은 매년 여름에 오르고 겨울에 내려가는 연 단위 seasonality를 가지며, 지하철 승객 수는 요일·시간 단위 seasonality를 가진다.

Residual

Residual은 trend와 seasonality를 제거하고 남은 랜덤한 요소다.

• 이상적으로는 white noise에 가까운, 패턴이 없는 잡음이어야 한다.
• 만약 trend와 seasonality를 완전히 제거하지 못하면, residual에 여전히 특정 경향성이나 주기성이 남아 있을 수 있다. 이는 분해가 충분하지 않았다는 신호로 볼 수 있다.

Additive vs. Multiplicative

세 요소가 결합되는 방식은 크게 합(additive) 과 곱(multiplicative) 두 가지다.

Case 1) Additive:

$$\text{Data}=\text{Trend}+\text{Seasonality}+\text{Residual}$$

• Trend의 방향과 무관하게, 시간이 지나도 변동폭(진폭)이 일정하게 유지되는 경우다.

Case 2) Multiplicative:

$$\text{Data}=\text{Trend}\times \text{Seasonality}\times \text{Residual}$$

• Trend가 커질수록 변동폭도 함께 커지는, 즉 시간에 따라 진폭이 일정하지 않은 경우다.

곱의 형태는 다루기 까다롭지만, log 변환을 취하면 합의 형태로 바꿀 수 있다는 유용한 성질이 있다.

$$\log (\text{Data})=\log (\text{Trend})+\log (\text{Seasonality})+\log (\text{Residual})$$

따라서 multiplicative 데이터도 로그를 씌운 뒤 additive 분해 기법을 그대로 적용할 수 있다.

분해는 왜 하는가

시계열을 요소별로 분해하면 두 가지 큰 이점이 있다.

• 데이터에 대한 더 깊은 이해와 해석이 가능하다. (장기 추세는 어떤지, 어떤 주기로 반복되는지, 설명되지 않는 잡음은 얼마나 되는지)
• 각 요소별로 적합한 모델링 방식을 따로 선택해서 적용할 수 있다.

Data Smoothing

그렇다면 실제로 어떻게 trend를 뽑아낼까? 가장 기본적인 도구가 data smoothing이다. Smoothing은 데이터의 잡음을 깎아내 부드러운 곡선을 만드는 작업으로, 이를 통해 trend를 추출하고 residual(잡음)을 걸러낼 수 있다. 대표적으로 moving average와 exponential moving average가 있다.

Moving Average

Moving average(이동평균)는 가장 간단한 smoothing 방식이다. 한 값을 기준으로, 정해 놓은 크기의 범위만큼 양옆 값들의 평균을 취한다. 예를 들어 윈도우 크기가 5라면,

$$X^{\prime }\ast t=\frac{X\ast t-2+X_{t-1}+X_t+X_{t+1}+X_{t+2}}{5}$$

이렇게 주변 값을 평균 내면 무작위한 흔들림이 상쇄되어, 시계열에서 잡음을 제거하는 데 사용할 수 있다.

Exponential Moving Average

Exponential moving average (EMA) 는 모든 값을 같은 중요도로 평균 내지 않는다. 가까운 시점의 관측치일수록 더 높은 가중치를 주어 평균을 취한다. $0<w<1$인 가중치 $w$를 두고, 거리가 멀어질수록 $w$의 거듭제곱으로 가중치가 작아지게 한다.

$$X^{\prime }\ast t=w^{3}X\ast t-2+w^2{X}_{t-1}+w{X}_t+w^2{X}_{t+1}+w^3{X}_{t+2}$$

$w$가 1보다 작으므로 $w>w^2>w^3$이고, 따라서 중심에서 멀어질수록 영향력이 빠르게 줄어든다. EMA는 단순 moving average보다 최근 변화에 민감하게 반응하므로, 데이터에서 trend를 추출하는 데 특히 효과적이다.

분해 절차

지금까지의 도구를 모아, 실제로 시계열을 세 요소로 분해하는 절차는 다음과 같다.

1) Trend 추출. 데이터에 moving average를 적용해 trend 성분을 분리한다.

2) Seasonality 추출.

• 먼저 de-trended data를 계산한다: $\text{De-trended data}=\text{Time series data}-\text{Trend}$
• de-trended data에서 특정 주기를 단위로 관측값들의 평균을 구한다.
• 예를 들어 일주일 단위 주기성을 갖는 교통량 데이터가 10주간 관측되었다면, 요일별로 10주치 교통량의 평균값 7개를 각각 계산한다.
• 이 평균값(요일별 7개)을 주기(일주일)마다 반복해서 이어 붙이면 seasonal 성분이 된다.

3) Residual 추출. de-trended data에서 seasonal 성분을 빼면 residual이 남는다.

$$\text{Residual}=\text{De-trended data}-\text{Seasonality}$$

이렇게 하면 하나의 시계열이 trend + seasonality + residual로 깔끔하게 분해된다.

분해를 자동화한 도구: Prophet

지금까지의 분해는 사람이 moving average와 de-trending을 직접 적용하는 절차였다. 이 과정을 자동화하고 예측까지 한 번에 해주는 대표적인 실무 도구가 Meta(Facebook)에서 공개한 Prophet이다 (Taylor & Letham, 2017).

Prophet의 핵심은 시계열을 다음과 같은 가법(additive) 분해 모델로 본다는 점이다.

$$y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+{ϵ}_t$$

• $g(t)$ — trend. 비주기적 추세를 piecewise linear 또는 logistic growth로 모델링하며, 추세가 꺾이는 지점(changepoint)을 자동으로 찾는다.
• $s(t)$ — seasonality. 주기 성분을 Fourier series로 표현해 연·주·일 등 여러 주기를 동시에 담는다.
• $h(t)$ — holiday/event effect. 휴일·프로모션처럼 불규칙하게 등장하는 효과. 앞서 본 trend + seasonality + residual 분해에 없던 항으로, 매출·트래픽 같은 실무 데이터에서 특히 중요하다.
• ${ϵ}_t$ — 설명되지 않은 잔차.

이 식은 글 앞부분의 $\text{Data}=\text{Trend}+\text{Seasonality}+\text{Residual}$ 구조를 그대로 따르되 holiday 항을 더한 형태다. (seasonality는 필요하면 multiplicative로도 둘 수 있다.)

Prophet은 결측치·이상치에 강하고 별다른 튜닝 없이도 합리적인 결과를 내, 분석 전문가가 아니어도 쉽게 쓰도록 설계됐다(“forecasting at scale”). 다만 변수 간 상호작용이 복잡하거나 고빈도 데이터에서는 뒤에서 다룰 딥러닝 기반 모델이 더 유리할 수 있다.

요약

• 시계열은 trend(전체 경향), seasonality(주기성), residual(남은 잡음)의 세 요소로 분해할 수 있다.
• 세 요소는 additive($+$) 또는 multiplicative($\times$) 형태로 결합되며, 곱 형태는 log 변환으로 합 형태로 바꿀 수 있다.
• Data smoothing(moving average, exponential moving average)으로 trend를 추출하고, de-trending과 주기별 평균을 거쳐 seasonality와 residual을 차례로 분리한다.
• Prophet(Meta)은 이 분해를 자동화한 도구로, 시계열을 $y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+{ϵ}_t$의 가법 모델(trend·seasonality·holiday)로 보고 분해와 예측을 한 번에 수행한다.

그림 출처: Kevin Kotze “Time Series Analysis” (University of Cape Town, 2021), Intel “Time Series Analysis” (2018), Ceylan Yozgatligil “Applied Time Series Analysis” (METU, 2011).