05. Monte Carlo 시뮬레이션 (정적 시뮬레이션)

지금까지 난수를 만들고 원하는 분포로 변환하는 법을 다졌다. 이제 이 무작위 표본으로 무엇을 할 수 있는지 첫 번째 답을 본다. Monte Carlo 시뮬레이션은 무작위 표본을 대량으로 뽑아 어떤 수치(적분, 기대값, 확률)를 추정하는 방법이다.

2부 분류 글에서 보았듯 Monte Carlo는 정적(static) 시뮬레이션이다. 시간을 따라가지 않고 “지금 이 양이 얼마인가”를 무작위로 때려 맞춘다. 이 점에서 시간 축을 사건 단위로 전진시키는 DES와 근본적으로 다르다.

직관: 넓이를 점으로 재기

가장 유명한 예가 원주율 $\pi$ 추정이다. 한 변이 1인 정사각형 $[0,1{]}^2$ 안에, 반지름 1인 사분원을 그린다. 정사각형 넓이는 1, 사분원 넓이는 $\pi /4$다. 이제 정사각형 안에 점을 무작위로 $N$개 뿌리고, 그중 원점에서의 거리가 1 이하라 사분원 안에 들어온 점의 개수를 $N_{\text{in}}$이라 하면,

$$\frac{N_{\text{in}}}{N}\approx \frac{\pi /4}{1}\Rightarrow \pi \approx 4\cdot \frac{N_{\text{in}}}{N}$$

점을 많이 뿌릴수록 추정이 정확해진다. 여기에 미적분이나 기하 공식은 전혀 쓰지 않았다. 무작위 표본의 비율만으로 넓이를, 따라서 $\pi$를 알아낸 것이다. 이것이 Monte Carlo의 본질이다.

일반화: 기대값으로서의 적분

위 아이디어는 적분 계산으로 일반화된다. 어떤 함수 $h(x)$를 구간 $[a,b]$에서 적분하고 싶다고 하자.

$$I={\int }_a^{b}h(x)dx$$

이를 균일분포에 대한 기대값으로 바꿔 쓸 수 있다. $X\sim \text{Uniform}(a,b)$의 밀도가 $1/(b-a)$이므로,

$$I=(b-a)\mathbb{E}[h(X)]$$

이다. 그러면 $X_1,\dots ,X_N$을 균일분포에서 독립적으로 뽑아 다음으로 추정한다.

$$\hat{I}=(b-a)\cdot \frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}h(X_i)$$

즉 “적분 = 기대값, 기대값 = 표본평균”이라는 연결이 Monte Carlo의 엔진이다. 더 일반적으로, 어떤 확률변수의 기대값 $\mathbb{E}[h(X)]$나 사건의 확률 $P(A)=\mathbb{E}[1_A]$는 모두 같은 방식으로 — 표본을 뽑아 평균 내어 — 추정할 수 있다.

추정량의 정확도

Monte Carlo 추정량 $\hat{I}$는 표본평균이므로 두 가지 좋은 성질을 갖는다.

첫째, 불편추정량(unbiased)이다. 평균적으로 참값을 맞힌다: $\mathbb{E}[\hat{I}]=I$.

둘째, 정확도가 표본 수에 따라 예측 가능하게 좋아진다. 추정량의 표준오차는

$$\text{SE}(\hat{I})=(b-a)\frac{\sigma }{\sqrt{N}}$$

로, $N$이 커질수록 $1/\sqrt{N}$ 속도로 줄어든다(여기서 $\sigma$는 $h(X)$의 표준편차이고, 기대값 $\mathbb{E}[h(X)]$를 직접 추정할 때는 계수 $(b-a)$ 없이 $\sigma /\sqrt{N}$이 된다). 이로부터 추정값에 대한 신뢰구간을 만들 수 있어, “내 추정이 얼마나 믿을 만한가”를 정량적으로 말할 수 있다.

이 $1/\sqrt{N}$ 수렴 속도에는 양면이 있다.

• 단점: 느리다. 정확도를 10배 높이려면 표본을 100배 늘려야 한다.
• 결정적 장점: 이 속도가 차원과 무관하다. 격자 기반 수치적분은 차원이 늘면 격자점이 기하급수적으로 폭발하는 차원의 저주에 걸리지만, Monte Carlo의 오차는 차원이 1이든 100이든 여전히 $1/\sqrt{N}$이다. 그래서 고차원 적분에서는 Monte Carlo가 사실상 유일한 실용적 수단이 된다(금융 파생상품 가치 평가, 베이지안 추론 등).

느린 수렴을 보완하기 위해 같은 $N$으로 분산 ${\sigma }^2$ 자체를 줄이는 기법들 — control variates, antithetic variates 등 — 이 있으며, 이는 4부에서 다룬다.

DES와의 차이, 그리고 통계 시리즈와의 관계

Monte Carlo는 시간이 없는 시뮬레이션이라는 점을 다시 강조한다. 대기열 시뮬레이션(DES)이 “오전 9시 5분에 손님 도착, 9시 7분에 서비스 종료…”처럼 사건을 시간 순으로 전개하는 반면, Monte Carlo는 그저 독립 표본을 모아 평균 낼 뿐이다. 둘은 자주 결합된다. 예컨대 DES를 여러 번 반복 실행해 평균 대기시간을 추정하는 것 자체가, 각 실행을 하나의 표본으로 보는 Monte Carlo 절차다.

한편 Monte Carlo는 시뮬레이션만의 것이 아니라 수치계산·통계 전반의 도구다. 이 블로그의 Monte Carlo Method 글이 더 일반적인 수치적분·추정 관점을 다루고, 그 발전형인 MCMC는 복잡한 분포에서 표본을 뽑는 문제로 나아간다. 이 글은 그 도구를 “무작위 표본으로 시스템의 양을 추정하는 정적 시뮬레이션”이라는 시뮬레이션의 관점에서 본 것이다.

정리

• Monte Carlo 시뮬레이션은 무작위 표본을 대량으로 뽑아 적분·기대값·확률을 추정하는 정적 시뮬레이션이다(시간 개념 없음).
• 핵심 연결은 “적분 = 기대값 = 표본평균”이다. $\pi$ 추정도 사분원 넓이를 점의 비율로 잰 것이다.
• 추정량은 불편이고 표준오차가 $1/\sqrt{N}$로 줄어 신뢰구간을 줄 수 있다. 수렴은 느리지만 차원과 무관해, 고차원 문제에서 강력하다.
• DES(동적)와 결합되며, 통계 시리즈의 Monte Carlo·MCMC와도 이어진다.

여기까지가 무작위성의 기초(2부)다. 다음 3부에서는 시간을 사건 단위로 전진시키는 이산사건 시뮬레이션(DES)의 사고방식으로 들어간다.