Frequency Domain Filters

Posted Apr 4, 2024

2 min read

2D Fourier Transformation

주어진 2D image $f(x,y)$에 대한 Fourier Transform을 $F(u,v)$라고 하자.

2D discrete Fourier transform:

\[F(u,v) = \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{M-1} f(x,y) \exp\left(-j \left( \frac{2 \pi ux}{N} + \frac{2 \pi vy}{M} \right)\right)\]

2D inverse discrete Fourier transform:

\[f(x,y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{N-1} \sum_{v=0}^{M-1} F(u,v) \, \exp\left(j \left( \frac{2 \pi ux}{N} + \frac{2 \pi vy}{M} \right)\right)\]

$F(u,v)$는 complex number이다. 즉, $F(u,v) = F_R(u,v)+jF_I(u,v)$.
$\vert F(u,v)\vert$를 the magnitude spectrum이라고 한다.
$\arctan (F_I(u,v) / F_R(u,v))$를 the phase angle spectrum이라고 한다.
Conjugacy: $f^\ast (x,y) \Leftrightarrow F(-u, -v)$.
Symmetry: $f(x,y)$ is even if $f(x,y) = f(-x, -y)$

Image를 Fourier 변환하게 되면, magnitude와 phase에 해당하는 data가 image와 같은 size로 생성된다.

즉, data size가 2배가 된다.

Magnitude 공간에서 peak가 원점에서 멀어질수록 high frequency이며, peak의 방향과 원본 이미지에서의 주기 성분의 방향은 같다. (linear phase)

Phase는 cos 함수의 시작점을 결정한다. ($\cos(2\pi ft+\phi))$

\[f(x,y) \xrightarrow{\mathcal{F}} A\exp\left(-j2\pi k_x x - j2\pi k_y y + \phi\right)\]

Graphical Intuition

Magnitude의 바깥 영역을 잘라내면 본래 image의 resolution이 낮아진다.

반대로 안쪽 영역을 잘라내면, 본래 image에서는 high frequency인 edge 부분만이 남게된다.

Image를 회전시키면, Magnitude 역시 같은 각도로 회전한다.

또한, 일반적으로 Magnitude보단 Phase에 정보가 더 많다.

Properties

Shift

\[g(x, y) = f(x - a, y - b) \xrightarrow{\mathcal{F}} G(u, v) = F(u, v) \exp\left(-2 \pi j \left( \frac{au}{N} + \frac{bv}{M} \right)\right)\] \[|G(u, v)| = |F(u, v)|\]

Scale

\[g(x, y) = a f(x, y) \xrightarrow{\mathcal{F}} G(u, v) = a F(u, v)\]

Flip

\[g(x, y) = f(ax, by) \xrightarrow{\mathcal{F}} G(u, v) = \frac{1}{|ab|} F\left( \frac{u}{a}, \frac{v}{b} \right)\]

Rotate

Rotate $g(x,y) = f(x,y)$ CCW by $\theta$ $\Rightarrow$ Rotate $G(u,v) = F(u,v)$ CCW by $\theta$.

Convolution ($\otimes$)

\[h(x, y) = f(x, y) \otimes g(x, y) \xrightarrow{\mathcal{F}} H(u, v) = F(u, v) g(u, v)\]