Affine Transformation and Correction

Affine Transformation

아래 형태의 변환을 affine transformation이라고 한다.

\[\begin{bmatrix} x^{1} \\ y^{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e \\ p \end{bmatrix}\]

• Shift

\[\begin{bmatrix} x^{1} \\ y^{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \end{bmatrix}\]

• Scale

\[\begin{bmatrix} x^{1} \\ y^{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]

• Flip

\[\begin{bmatrix} x^{1} \\ y^{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]

• Rotation

\[\begin{bmatrix} x^{1} \\ y^{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta) & \cos (\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]

• Shear

\[\begin{bmatrix} x^{1} \\ y^{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+by \\ y \end{bmatrix}\]

• Inverse Transformation

\[\begin{bmatrix} x^{1} \\ y^{1} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + b\] \[\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} x^{1} \\ y^{1} \end{bmatrix} -A^{-1}b\]

Interpolation

Affine Transformation 시, edge 부분의 pixel에 대한 interpolation이 필요하다.

• Neareast Neighbor: 가까운 1개의 pixel을 사용 (Zero-order Hold와 유사)
• Bilinear: 가까운 4개의 pixel을 사용하고 거리비에 따라 계산
• Bicubic: 가까운 16개의 pixel을 사용하고 거리비에 따라 계산

Correction

Gamma Correction

모든 display device는 image의 밝기를 다르게 표현하며, 이는 주로 $\gamma$로 표현된다: $F(D)=D^\gamma$.

따라서, 만약 display device의 $\gamma$를 안다면, 최종 pixel 값에 $\gamma$의 inverse를 제곱해주면 실제 밝기의 image로 출력된다: $(D^{1/\gamma})^\gamma=D$. 이를 gamma correction이라고 한다.

Histogram Equalization

x축(수평축)은 밝기 값, y축(수직축)은 밝기 값에 대응되는 크기를 가진 픽셀 수로 하여, image를 histogram으로 표현할 수 있다.

• 히스토그램이 고르게 분포할수록 명암 차이가 크다. (high-contrast)

Histogram equalization이란, histogram의 분포를 평평하게 만들어 image를 보다 선명하게 만들어주는 기법이다.